Introdução

O presente trabalho faz parte da disciplina de estatística e foi elaborada no âmbito da avaliação na mesma disciplina, o trabalho ira debruçar-se acerca dos números índices, destacando os seguintes intes:

ü Conceito;

ü Tipos de números índices;

ü Suas propriedades;

ü Índices simples e compostos e;

ü Por fim a taxa de variação.

Desenvolvimento

Números índices

Número índice é uma medida estatística que permite expressar a variação relativa de uma ou mais variáveis no tempo, ou no espaço, ou entre categorias semelhantes.

Número índice é um indicador ou uma medida estatística que as alterações entre as grandezas do mesmo tipo ou as varrições entre grandezas diferentes.

Número índice é o quociente entre dois valores de uma variável, referentes a diferentes pontos no tempo ou no espaço e expresso em percentagem.

O número índice constituiu um instrumento de análise poderoso, normalmente quando se estabelecer comparações entre grupos de variáveis distintas ou não, mas relacionadas entre si. Vários problemas se podem apresentar quer na comparação de preços (índices de preço), quer nas quantidades produzidas (índices de quantidade), quer nos valores totais (índices de valor= preço

quantidade). Os índices das variáveis preço, quantidade e valor destinam se para medir ocorrências ao longo do tempo e são os mais usados.

Na prática, um número índice é o rácio entre o valor observado para uma variável em causa, designado por valor corrente, e outro tomado para a comparação e designado por valor base. Este rácio, é normalmente multiplicado por 100 de modo que as variações percentuais ressaltem facilmente das comparações.

Uma dada variável X, assume os valores V₀ e V_t, para dois momentos no tempo, t e o.

O número índice de V no momento t por referência à ₀,

Vantagens dos números índices

Os números índices, sendo instrumentos estatísticos que medem variações no tempo ou no espaço, permitem sintetizar e comunicar de uma maneira eficaz a natureza das mudanças verificadas numa ou mais variáveis.

Permitem simplificar os dados e uma maior facilidade de comunicação: com um só valor pode avaliar-se a evolução de um conjunto complexo de variáveis.

Aplicação

Os números índices aplicam se no campo da produção, evolução de preço, custo de vida, ensino, salários, registros demográficos, etc.

Classificação dos números índices

1.Quanto as grandezas os índices podem ser absolutos ou relativos.

2.Quanto a naturezas podem ser de preço, de quantidade e de valor.

3.Quanto ao processo de cálculo podem ser simples, ponderado ou global ou compostos.

Índices simples ou elementares

Um índice é simples ou elementar quando se refere a um só fenómeno, e será dito sintético ou global quando se refere a um conjunto de fenómenos.

Índice de Preços relativos

O preço relativo de um determinado produto em duas épocas diferentes é o quociente entre esses dois preços, i, é uma comparação do preço no período t, relativamente ao período 0 tomado como básico.

Onde: P(0)= preço da época base

P(t)= preço no período actual

I(p)= índice do preço relativo

Exemplo 1: Em 1994 e 1996, o preço de 1 kg de manteiga era de 50 mil mts e de 80 mil mts. Determine o preço relativo da manteiga referente e esses dois anos tomando como base o ano 1994. Calcule também a variação absoluta dos preços nestes anos.

Resolução

P(o)=P(1994)=50; P(t)=P(1996)=80

Resposta. Conclui-se que o preço em 1996 foi 60% superior em relação ao preço de 1994. Em termos de variação absoluta:

p=P(96)-P(94)= 80-50=30 mil meticais.

Exemplo2: Consideremos durante anos 1983, 1984 e 1986, o preço médio do quilo de carne foi de 6, 9 e 14 mil mts. Determine o preço da carne de vaca considerando como ano base: a) 1983; b)1984 e c)1986

Tabela 8.1 Variação do preço médio de 1 kg de carne de vaca.

Anos	Preço	Ip(83, t)	Ip(84,t)	Ip(86, t)
1983	6	100.0	66.6	42.8
1984	9	150.0	100.0	64.3
1986	14	233.3	155.5	100.0

Da tabela pode se ver que os preços relativos variam com a mudança da época.

1. Todos os preços relativos referentes a época base são iguais a 100%

2. Todos os preços relativos superiores a 100% indicam um aumento em (x-100)%

Índice relativo de quantidade ou volume relativo

Além da comparação dos preços, pode-se estar interessado na comparação das quantidades produzidas, vendidas, consumidas, etc., nestes casos usam-se índices de volume relativo ou índice de quantidade relativo İq que é dada pelo quociente.

İq=q(0,t)=q(t)/q(0) ou İq=

100%

Onde: q(0)= quantidade de um produto época base

q(t)= quantidade do mesmo produto na época actual

Exemplo: Um vendedor de automóveis vendeu 600 veículos em 1980 contra 400 em 1978. Calcular o relativo de quantidade em 1980, com base em 1978.

Resolução:

q(78)=400; q(80)=600

İq=

1.50 Ou 150%

Resposta: Com base neste resultado pode-se afirmar que o vendedor apresentou em 1980 um desempenho 50% superior em relação a 1978, e

600-400=200 unidades.

Índice relativo de valor

Se (p) é o preço unitário de um bem e (q), a quantidade adquirida, o produto p

será denominado valor da transacção. Por exemplo, se considerarmos que cada estudante compra 10 cadernos por semestre e cada custa 8 mil mts, o valor total do custo será:

V=p

=8000,00

10=80000,00 mts.

Se p(t) e q(t0 representam o preço e a quantidade de um bem numa determinada época, e o p(0) e q(0) o preço e a quantidade do mesmo bem na época básica, o valor total relativo será definido pelo quociente:

İv(0,t)=

Isto dá no resultado: İv(0,t)= p(0,t)

q(0,t), significando que o relativo do valor pode ser

Uma empresa vendeu em 1988, 12000 unidades de um produto ao preço unitário de 500 mts. Em 1990 vendeu 15000 unidades do mesmo produto ao preço unitário de 600 mts. Com base em 1988.

a) Calcule o índice relativo de valor em 1990.

b) Calcule o índice relativo de valor usando o método de decomposição

Resolução:

a) P(88)=500; q(88)=12000

v(88)

q(88)=500

12000=60.00.000 cts

P(90)=600; q(90)=15000

v(90)=p(90)

q(90)=600

15000=9.000.000 cts

İv(88,90)=

= 1.50 Ou 150%

Resposta: em 1990, o facturamento da empresa com a venda do produto foi de 50% superior em relação a 1988.

b) De acordo com as definições anteriores:

İp=p(90)/p(88)=600/500=1.20 ou 120%

İq=q(90)/q(88)=15000/12000=1.25 ou 125%

İv=ip

=1.20

1.25=1.50 ou 150%

Este resultado permite destacar o seguinte erro comum de interpretação. Como o preço aumentou em 20% e a quantidade em 25%, alguém poderia concluir que o volume aumentou em 45%, o que não é verdade. A adição pura de percentagens não pode ser feita quando as bases de cálculo forem de natureza e valores diferentes.

Propriedades dos índices

Não existe um índice considerado perfeito, ou uma fórmula universalmente aceite para quantificar, de modo exacto, as variações de preços e de quantidades especialmente quando os índices se referem a um conjunto de bens.

1.Propriedade de identidade- o índice de período base ou de um outro momento que reproduza as mesmas condições do período base assume valor 1(100)% ou o índice deve ser igual a unidade quando a época actual (t) coincidir com a época básica (0).

İ(t,t)=1 ou İ=(0,0)=1

2.Propriedade da reversibilidade - permutando os períodos s e t, o índice é substituído pelo seu inverso.

İ(s,t)

İ(t,s)=1 ou İ(s,t)=1/İ(t,s)

3.Propriedade de Transitividade ou circularidade - se um índice aparece com datas em progressão aritmética e cujas comparações foram feitas com base nas datas anteriores, o valor do índice na última data, com base na primeira, será igual ao produto dos valores da série original.

İ(0,t)

İ(1,2)

...İ(t-1)=İ(0,t)

4.Propriedade da decomposição das causas ou inversão dos factores - o produto de um número índice de preço pelo corresponde número de quantidade deve ser igual ao valor total relativo ou ao índice de valor.

İp(0,t)

İq(0,t)=İv(0,t)

Índices compostos ou agregados ponderados

São índices que relacionam os preços, as quantidades e os valores em períodos diferentes e referem-se a vários produtos, que são analisados como um todo.

Os índices ponderados agregados são índices que relacionam os preços, as quantidades consumidas e os valores relativos em épocas diferentes e referem-se a vários produtos, que são analisados como um todo.

Um índice agregado calcula-se a partir dos dados referentes a um conjunto de bens ou serviços para determinado período de tempo, todos eles expressos na mesma unidade de medida. Estes índices permitem medir as alterações de preços, quantidades ou valores entre vários períodos de tempo relativamente ao mesmo período base.

A seguir apresentamos os processos de cálculo de índices compostos.

Índice de Laspeyres

O índice de Laspeyres é a média aritmética ponderada de preços relativos e quantidades relativas, sendo os factores de ponderação determinados a partir dos preços e quantidades do período base, isto é, quando se ponderam os preços de cada ano pelas quantidades do ano base, o resultado será um índice de preço de Laspeyres e vice-versa.

Os índices de Laspeyres são de cálculo fácil e relativamente rápido uma vez que só é necessária informação completa sobre quantidades e preços para o ano base.

A quantidade de informação a recolher a partir do ano base é menor, o que se torna uma vantagem em termos de economia de custos.

No entanto, a desactualizados se a variável utilizada para as ponderações sofrer alterações apreciáveis ao longo do tempo.

As fórmulas para o cálculo dos índices de Laspeyres são as seguintes.

Laspeyres preços

Exemplo: matérias-primas para produção de um bem MZ

Matéria-prima	Ano 0		Ano 1		Ano 2
Matéria-prima	Preço	Quantidade	Preço	Quantidade	Preço	Quantidade
A	20	15	25	12	31	11
B	15	20	18	21	20	26
C	10	40	12	42	11	55
D	5	50	5	45	6	50

Determine o índice de Laspeyres preço, tomando como base o ano 0.

Resolução: tomando ano 0 como base, temos:

Matérias-primas	P₀Q₀	P₁Q₀	P₂Q₀
A	300	375	465
B	300	360	400
C	400	480	440
D	250	250	300
	1250	1465	1605

Aplicando a fórmula temos:

Ano 0:

Ano 1:

Ano 2:

O índice preço indica do ano 1 e 2 houve respectivamente os aumentos de 17.2% e 28.4%.

Laspeyres quantidade

Exemplo: matérias-primas para produção de um bem MZ

Matéria-prima	Ano 0		Ano 1		Ano 2
Matéria-prima	Preço	Quantidade	Preço	Quantidade	Preço	Quantidade
A	20	15	25	12	31	11
B	15	20	18	21	20	26
C	10	40	12	42	11	55
D	5	50	5	45	6	50

Determine o índice de Laspeyres quantidade, tomando como base o ano 0.

Resolução: tomando ano 0 como base, temos:

Matérias-primas	P₀Q₀	P₀Q₁	P₀Q₂
A	300	240	220
B	300	315	390
C	400	420	550
D	250	225	250
	1250	1200	1410

Aplicando a fórmula temos:

Ano 0:

Ano 1:

Ano 2:

O índice quantidade ano 0 não alteração, no ano 1 houve uma diminuição de 4%, e no ano 2 aumentou em 28.4%.

Laspeyres valor

Índice de Paasches

Este índice de Paasches também é composto utiliza como ponderações os preços ou quantidades relativos ao ano corrente.

A aplicação do método Paasches para a construção de índice agregativo de todos os componentes elementares corresponde à utilização de ponderadores do período corrente.

As series de índice de Paasches são mais dinâmicas uma vez que reflectem a importância relativa actual dos vários itens, mas tem a desvantagem de requerer informação completa sobre preços e quantidades para todos esses itens.

De seguida apresentamos as fórmulas para o cálculo de índice de Paasches

Paasches preço

Exemplo: matérias-primas para produção de um bem MZ

Matéria-prima	Ano 0		Ano 1		Ano 2
Matéria-prima	Preço	Quantidade	Preço	Quantidade	Preço	Quantidade
A	20	15	25	12	31	11
B	15	20	18	21	20	26
C	10	40	12	42	11	55
D	5	50	5	45	6	50

Determine o índice de Paasches preço, tomando como base o ano 0.

Resolução: tomando ano 0 como base, temos:

Matérias-primas	P₁Q₁	P₀Q₁	P₂Q₂	P₀Q₂
A	300	240	341	220
B	378	315	520	390
C	504	420	605	550
D	225	225	300	250
	1407	1200	1766	1410

Aplicando a fórmula temos:

Ano 1:

Ano 2:

O índice quantidade no ano 1 houve um aumento de 17.25%, e no ano 2 aumentou em 25.25%.

Paasches quantidade

Exemplo: matérias-primas para produção de um bem MZ

Matéria-prima	Ano 0		Ano 1		Ano 2
Matéria-prima	Preço	Quantidade	Preço	Quantidade	Preço	Quantidade
A	20	15	25	12	31	11
B	15	20	18	21	20	26
C	10	40	12	42	11	55
D	5	50	5	45	6	50

Determine o índice de Paasches quantidade, tomando como base o ano 0.

Resolução: tomando ano 0 como base, temos:

Matérias-primas	P₁Q₁	P₁Q₀	P₂Q₂	P₂Q₀
A	300	375	341	465
B	378	360	520	400
C	504	480	605	440
D	225	250	300	300
	1407	1465	1766	1605

Aplicando a fórmula temos:

Ano 1:

Ano 2:

Paasches valor

Os índices de Paasches são mais actualizados que os de Laspeyres uma vez que reflectem a situação corrente em termos das ponderações utilizadas.

Índice de Fischer

O índice de Fischer corresponde à média geométrica de um índice Laspeyres e Paasches.

E as formulas para do índice de Fischer são as seguintes:

Fischer quantidades

Fischer preços

Fischer valor

Taxas de Variação

A taxa de variação dos valores observados entre os momentos t e o, para a variável é dada por:

As comparações decorrentes do emprego de números índices podem ser consideradas sobre três aspectos ou categorias:

♦ Variações ocorridas ao longo do tempo;

♦ Diferenças entre lugares;

♦ Diferenças entre categorias semelhantes, como pessoas, produtos ou coisas.

A utilização dos índices é bastante vasta, mas podemos destacar os seguintes:

♦ Como um resultado em si mesmo, isto é, como informação final. Constitui um exemplo deste tipo de utilização a referência ao IPC, para ilustrar a inflação, ou do índice de produção industrial como indicador de crescimento real da indústria;

♦ Como instrumento para melhor interpretar a informação primária quando comparamos a evolução de variáveis com unidades de medidas diferentes ou escalas de unidades de medidas distantes.