quarta-feira, 13 de agosto de 2014

Números Índices

Introdução

O presente trabalho faz parte da disciplina de estatística e foi elaborada no âmbito da avaliação na mesma disciplina, o trabalho ira debruçar-se acerca dos números índices, destacando os seguintes intes:

ü Conceito;

ü Tipos de números índices;

ü Suas propriedades;

ü Índices simples e compostos e;

ü Por fim a taxa de variação.

Desenvolvimento

Números índices

Número índice é uma medida estatística que permite expressar a variação relativa de uma ou mais variáveis no tempo, ou no espaço, ou entre categorias semelhantes.

Número índice é um indicador ou uma medida estatística que as alterações entre as grandezas do mesmo tipo ou as varrições entre grandezas diferentes.

Número índice é o quociente entre dois valores de uma variável, referentes a diferentes pontos no tempo ou no espaço e expresso em percentagem.

O número índice constituiu um instrumento de análise poderoso, normalmente quando se estabelecer comparações entre grupos de variáveis distintas ou não, mas relacionadas entre si. Vários problemas se podem apresentar quer na comparação de preços (índices de preço), quer nas quantidades produzidas (índices de quantidade), quer nos valores totais (índices de valor= preço

quantidade). Os índices das variáveis preço, quantidade e valor destinam se para medir ocorrências ao longo do tempo e são os mais usados.

Na prática, um número índice é o rácio entre o valor observado para uma variável em causa, designado por valor corrente, e outro tomado para a comparação e designado por valor base. Este rácio, é normalmente multiplicado por 100 de modo que as variações percentuais ressaltem facilmente das comparações.

Uma dada variável X, assume os valores V₀ e V_t, para dois momentos no tempo, t e o.

O número índice de V no momento t por referência à ₀,

Vantagens dos números índices

Os números índices, sendo instrumentos estatísticos que medem variações no tempo ou no espaço, permitem sintetizar e comunicar de uma maneira eficaz a natureza das mudanças verificadas numa ou mais variáveis.

Permitem simplificar os dados e uma maior facilidade de comunicação: com um só valor pode avaliar-se a evolução de um conjunto complexo de variáveis.

Aplicação

Os números índices aplicam se no campo da produção, evolução de preço, custo de vida, ensino, salários, registros demográficos, etc.

Classificação dos números índices

1.Quanto as grandezas os índices podem ser absolutos ou relativos.

2.Quanto a naturezas podem ser de preço, de quantidade e de valor.

3.Quanto ao processo de cálculo podem ser simples, ponderado ou global ou compostos.

Índices simples ou elementares

Um índice é simples ou elementar quando se refere a um só fenómeno, e será dito sintético ou global quando se refere a um conjunto de fenómenos.

Índice de Preços relativos

O preço relativo de um determinado produto em duas épocas diferentes é o quociente entre esses dois preços, i, é uma comparação do preço no período t, relativamente ao período 0 tomado como básico.

Onde: P(0)= preço da época base

P(t)= preço no período actual

I(p)= índice do preço relativo

Exemplo 1: Em 1994 e 1996, o preço de 1 kg de manteiga era de 50 mil mts e de 80 mil mts. Determine o preço relativo da manteiga referente e esses dois anos tomando como base o ano 1994. Calcule também a variação absoluta dos preços nestes anos.

Resolução

P(o)=P(1994)=50; P(t)=P(1996)=80

Resposta. Conclui-se que o preço em 1996 foi 60% superior em relação ao preço de 1994. Em termos de variação absoluta:

p=P(96)-P(94)= 80-50=30 mil meticais.

Exemplo2: Consideremos durante anos 1983, 1984 e 1986, o preço médio do quilo de carne foi de 6, 9 e 14 mil mts. Determine o preço da carne de vaca considerando como ano base: a) 1983; b)1984 e c)1986

Tabela 8.1 Variação do preço médio de 1 kg de carne de vaca.

Anos	Preço	Ip(83, t)	Ip(84,t)	Ip(86, t)
1983	6	100.0	66.6	42.8
1984	9	150.0	100.0	64.3
1986	14	233.3	155.5	100.0

Da tabela pode se ver que os preços relativos variam com a mudança da época.

1. Todos os preços relativos referentes a época base são iguais a 100%

2. Todos os preços relativos superiores a 100% indicam um aumento em (x-100)%

Índice relativo de quantidade ou volume relativo

Além da comparação dos preços, pode-se estar interessado na comparação das quantidades produzidas, vendidas, consumidas, etc., nestes casos usam-se índices de volume relativo ou índice de quantidade relativo İq que é dada pelo quociente.

İq=q(0,t)=q(t)/q(0) ou İq=

100%

Onde: q(0)= quantidade de um produto época base

q(t)= quantidade do mesmo produto na época actual

Exemplo: Um vendedor de automóveis vendeu 600 veículos em 1980 contra 400 em 1978. Calcular o relativo de quantidade em 1980, com base em 1978.

Resolução:

q(78)=400; q(80)=600

İq=

1.50 Ou 150%

Resposta: Com base neste resultado pode-se afirmar que o vendedor apresentou em 1980 um desempenho 50% superior em relação a 1978, e

600-400=200 unidades.

Índice relativo de valor

Se (p) é o preço unitário de um bem e (q), a quantidade adquirida, o produto p

será denominado valor da transacção. Por exemplo, se considerarmos que cada estudante compra 10 cadernos por semestre e cada custa 8 mil mts, o valor total do custo será:

V=p

=8000,00

10=80000,00 mts.

Se p(t) e q(t0 representam o preço e a quantidade de um bem numa determinada época, e o p(0) e q(0) o preço e a quantidade do mesmo bem na época básica, o valor total relativo será definido pelo quociente:

İv(0,t)=

Isto dá no resultado: İv(0,t)= p(0,t)

q(0,t), significando que o relativo do valor pode ser

Uma empresa vendeu em 1988, 12000 unidades de um produto ao preço unitário de 500 mts. Em 1990 vendeu 15000 unidades do mesmo produto ao preço unitário de 600 mts. Com base em 1988.

a) Calcule o índice relativo de valor em 1990.

b) Calcule o índice relativo de valor usando o método de decomposição

Resolução:

a) P(88)=500; q(88)=12000

v(88)

q(88)=500

12000=60.00.000 cts

P(90)=600; q(90)=15000

v(90)=p(90)

q(90)=600

15000=9.000.000 cts

İv(88,90)=

= 1.50 Ou 150%

Resposta: em 1990, o facturamento da empresa com a venda do produto foi de 50% superior em relação a 1988.

b) De acordo com as definições anteriores:

İp=p(90)/p(88)=600/500=1.20 ou 120%

İq=q(90)/q(88)=15000/12000=1.25 ou 125%

İv=ip

=1.20

1.25=1.50 ou 150%

Este resultado permite destacar o seguinte erro comum de interpretação. Como o preço aumentou em 20% e a quantidade em 25%, alguém poderia concluir que o volume aumentou em 45%, o que não é verdade. A adição pura de percentagens não pode ser feita quando as bases de cálculo forem de natureza e valores diferentes.

Propriedades dos índices

Não existe um índice considerado perfeito, ou uma fórmula universalmente aceite para quantificar, de modo exacto, as variações de preços e de quantidades especialmente quando os índices se referem a um conjunto de bens.

1.Propriedade de identidade- o índice de período base ou de um outro momento que reproduza as mesmas condições do período base assume valor 1(100)% ou o índice deve ser igual a unidade quando a época actual (t) coincidir com a época básica (0).

İ(t,t)=1 ou İ=(0,0)=1

2.Propriedade da reversibilidade - permutando os períodos s e t, o índice é substituído pelo seu inverso.

İ(s,t)

İ(t,s)=1 ou İ(s,t)=1/İ(t,s)

3.Propriedade de Transitividade ou circularidade - se um índice aparece com datas em progressão aritmética e cujas comparações foram feitas com base nas datas anteriores, o valor do índice na última data, com base na primeira, será igual ao produto dos valores da série original.

İ(0,t)

İ(1,2)

...İ(t-1)=İ(0,t)

4.Propriedade da decomposição das causas ou inversão dos factores - o produto de um número índice de preço pelo corresponde número de quantidade deve ser igual ao valor total relativo ou ao índice de valor.

İp(0,t)

İq(0,t)=İv(0,t)

Índices compostos ou agregados ponderados

São índices que relacionam os preços, as quantidades e os valores em períodos diferentes e referem-se a vários produtos, que são analisados como um todo.

Os índices ponderados agregados são índices que relacionam os preços, as quantidades consumidas e os valores relativos em épocas diferentes e referem-se a vários produtos, que são analisados como um todo.

Um índice agregado calcula-se a partir dos dados referentes a um conjunto de bens ou serviços para determinado período de tempo, todos eles expressos na mesma unidade de medida. Estes índices permitem medir as alterações de preços, quantidades ou valores entre vários períodos de tempo relativamente ao mesmo período base.

A seguir apresentamos os processos de cálculo de índices compostos.

Índice de Laspeyres

O índice de Laspeyres é a média aritmética ponderada de preços relativos e quantidades relativas, sendo os factores de ponderação determinados a partir dos preços e quantidades do período base, isto é, quando se ponderam os preços de cada ano pelas quantidades do ano base, o resultado será um índice de preço de Laspeyres e vice-versa.

Os índices de Laspeyres são de cálculo fácil e relativamente rápido uma vez que só é necessária informação completa sobre quantidades e preços para o ano base.

A quantidade de informação a recolher a partir do ano base é menor, o que se torna uma vantagem em termos de economia de custos.

No entanto, a desactualizados se a variável utilizada para as ponderações sofrer alterações apreciáveis ao longo do tempo.

As fórmulas para o cálculo dos índices de Laspeyres são as seguintes.

Laspeyres preços

Exemplo: matérias-primas para produção de um bem MZ

Matéria-prima	Ano 0		Ano 1		Ano 2
Matéria-prima	Preço	Quantidade	Preço	Quantidade	Preço	Quantidade
A	20	15	25	12	31	11
B	15	20	18	21	20	26
C	10	40	12	42	11	55
D	5	50	5	45	6	50

Determine o índice de Laspeyres preço, tomando como base o ano 0.

Resolução: tomando ano 0 como base, temos:

Matérias-primas	P₀Q₀	P₁Q₀	P₂Q₀
A	300	375	465
B	300	360	400
C	400	480	440
D	250	250	300
	1250	1465	1605

Aplicando a fórmula temos:

Ano 0:

Ano 1:

Ano 2:

O índice preço indica do ano 1 e 2 houve respectivamente os aumentos de 17.2% e 28.4%.

Laspeyres quantidade

Exemplo: matérias-primas para produção de um bem MZ

Matéria-prima	Ano 0		Ano 1		Ano 2
Matéria-prima	Preço	Quantidade	Preço	Quantidade	Preço	Quantidade
A	20	15	25	12	31	11
B	15	20	18	21	20	26
C	10	40	12	42	11	55
D	5	50	5	45	6	50

Determine o índice de Laspeyres quantidade, tomando como base o ano 0.

Resolução: tomando ano 0 como base, temos:

Matérias-primas	P₀Q₀	P₀Q₁	P₀Q₂
A	300	240	220
B	300	315	390
C	400	420	550
D	250	225	250
	1250	1200	1410

Aplicando a fórmula temos:

Ano 0:

Ano 1:

Ano 2:

O índice quantidade ano 0 não alteração, no ano 1 houve uma diminuição de 4%, e no ano 2 aumentou em 28.4%.

Laspeyres valor

Índice de Paasches

Este índice de Paasches também é composto utiliza como ponderações os preços ou quantidades relativos ao ano corrente.

A aplicação do método Paasches para a construção de índice agregativo de todos os componentes elementares corresponde à utilização de ponderadores do período corrente.

As series de índice de Paasches são mais dinâmicas uma vez que reflectem a importância relativa actual dos vários itens, mas tem a desvantagem de requerer informação completa sobre preços e quantidades para todos esses itens.

De seguida apresentamos as fórmulas para o cálculo de índice de Paasches

Paasches preço

Exemplo: matérias-primas para produção de um bem MZ

Matéria-prima	Ano 0		Ano 1		Ano 2
Matéria-prima	Preço	Quantidade	Preço	Quantidade	Preço	Quantidade
A	20	15	25	12	31	11
B	15	20	18	21	20	26
C	10	40	12	42	11	55
D	5	50	5	45	6	50

Determine o índice de Paasches preço, tomando como base o ano 0.

Resolução: tomando ano 0 como base, temos:

Matérias-primas	P₁Q₁	P₀Q₁	P₂Q₂	P₀Q₂
A	300	240	341	220
B	378	315	520	390
C	504	420	605	550
D	225	225	300	250
	1407	1200	1766	1410

Aplicando a fórmula temos:

Ano 1:

Ano 2:

O índice quantidade no ano 1 houve um aumento de 17.25%, e no ano 2 aumentou em 25.25%.

Paasches quantidade

Exemplo: matérias-primas para produção de um bem MZ

Matéria-prima	Ano 0		Ano 1		Ano 2
Matéria-prima	Preço	Quantidade	Preço	Quantidade	Preço	Quantidade
A	20	15	25	12	31	11
B	15	20	18	21	20	26
C	10	40	12	42	11	55
D	5	50	5	45	6	50

Determine o índice de Paasches quantidade, tomando como base o ano 0.

Resolução: tomando ano 0 como base, temos:

Matérias-primas	P₁Q₁	P₁Q₀	P₂Q₂	P₂Q₀
A	300	375	341	465
B	378	360	520	400
C	504	480	605	440
D	225	250	300	300
	1407	1465	1766	1605

Aplicando a fórmula temos:

Ano 1:

Ano 2:

Paasches valor

Os índices de Paasches são mais actualizados que os de Laspeyres uma vez que reflectem a situação corrente em termos das ponderações utilizadas.

Índice de Fischer

O índice de Fischer corresponde à média geométrica de um índice Laspeyres e Paasches.

E as formulas para do índice de Fischer são as seguintes:

Fischer quantidades

Fischer preços

Fischer valor

Taxas de Variação

A taxa de variação dos valores observados entre os momentos t e o, para a variável é dada por:

As comparações decorrentes do emprego de números índices podem ser consideradas sobre três aspectos ou categorias:

♦ Variações ocorridas ao longo do tempo;

♦ Diferenças entre lugares;

♦ Diferenças entre categorias semelhantes, como pessoas, produtos ou coisas.

A utilização dos índices é bastante vasta, mas podemos destacar os seguintes:

♦ Como um resultado em si mesmo, isto é, como informação final. Constitui um exemplo deste tipo de utilização a referência ao IPC, para ilustrar a inflação, ou do índice de produção industrial como indicador de crescimento real da indústria;

♦ Como instrumento para melhor interpretar a informação primária quando comparamos a evolução de variáveis com unidades de medidas diferentes ou escalas de unidades de medidas distantes.

Conclusão

Número índice é o quociente entre dois valores de uma variável, referentes a diferentes pontos no tempo ou no espaço e expresso em percentagem.

Descrição	Formula
Índice de preços relativos
Índice de quantidades	İq=100%
Índice valor	İv(0,t)==






Taxa de variação

Referência bibliográfica

ü MULENGA, Alberto (2004). Introdução à estatística. DMI da UEM

ü MURTEIRA, Bento (1993). Análise exploratória de dados. MCGRAW-HILL. Portugal

ü REIS, Elisabeth (2009). Estatística descritiva. 7ª Edição. Edição silabo. Lisboa

ü SANTOS, Fernando Borja. Sebenta de matemáticas gerais estatísticas. 7ª Edição. Plátano editora

sábado, 20 de julho de 2013

Numerais

Numeral é a palavra que quantifica entes ou com certos ou indica a posição que ocupam numa determinada ordem.

Numeral é toda palavra que encerra a ideia de número.

Tipos de numerais

Os numerais podem ser classificados como cardinal, colectivo, ordinal, multiplicativo, fraccionário, partitivo ou romanos.

Numerais cardinais

Os numerais cardinais são aqueles que utilizam os números naturais para a contagem de objectos, ou até designam a abstracção das quantidades: os números em si mesmos. Valem por adjectivos ou substantivos.

Exemplo : Dois mais dois é igual a quatro

Numerais colectivos

Os numerais colectivos são aquelas palavras que designam uma quantidade específica de um conjunto de seres ou objectos. São termos variáveis em número e invariáveis em género.

• Exemplos: dúzia(s),dezena(s),milheiro(s),milhar(es),dezena(s),centena(s),par(es),década(s),grosa(s).
Numerais multiplicativos

Os numerais multiplicativos são aqueles que indicam uma quantidade equivalente a uma multiplicação (uma duplicação, uma triplicação etc.).

• Exemplos: Às vezes, as palavras possuem duplo sentido. Arrecadou-se o triplo dos impostos relativos ao ano passado.

Numerais ordinais

Os numerais ordinais são aqueles que indicam a ordenação ou a sucessão numérica de seres e objectos.
• Exemplo: Recebeu os seus primeiros presentes agora mesmo.
• Exemplo: Dumas está completando seu primeiro aniversário.

Numerais fraccionários

Os numerais fraccionários são aqueles que passam a ideia de parte de algo, fracção.
• Exemplo: terço, quinto
• Um terço do bolo por favor.
Indicam a divisão de seres (usado muito em receitas de alimento) Exemplo : Ponha 1/4 da xícara de açúcar na massa.

Numerais partitivos

Os numerais partitivos são aqueles que passam ideia de partir, não deve se confundir com fraccionários.
• Exemplo: meio.

Numerais romanos

Os numerais romanos são usados para marcar o século muitas vezes em relógios e outros, são 7 símbolos que representam os números romanos: I (1),V (5),X (10),L(50), C (100),D (500),M(1000) Para ser formado um número romano é necessário fazer as combinações corretas, sempre em ordem decrescente.
Cada letra só se pode repetir três vezes, porem é desnecessário, por exemplo, usar duas vezes a letra D, uma vez que repetida daria mil, M. Apesar de não parecer, os números romanos também são infinitos. Para fazer um número menor que uma letra, quando ele for impossível com outras combinações, podemos pôr uma letra na frente pra diminuir a segunda letra.

Exemplo: (ou seja, 100 - 10).

Quando na numeração romana colocarmos um traço em cima da letra, estaremos multiplicando o valor da letra por mil, por isso, colocando dois traços multiplicamos por um milhão (1000x1000) e assim sucessivamente.

Exemplo:
Desta forma, torna-se possível escrever qualquer número natural na numeração romana.

Acta

A acta é a fixação escrita dos factos ocorridos e das deliberações tomadas nas reuniões, cuja convocatória devera constar o dia, hora e o local da reunião e a respectiva ordem de trabalho.

Acta é um resumo do que ocorreu numa reunião, sobretudo das decisões tomadas.

A acta é um relato informativo, objectivo e fiel, de tudo o que acontece numa reunião.
A acta é uma narração, por escrito, de uma forma sintética ou pormenorizada, do que ocorreu, numa sessão ou cerimonia.

Nela devem constar todos os factos importantes que ocorrem nessa reunião.

Estrutura da Acta

O texto fixa com fidelidade os aspectos essenciais dos factos ocorridos numa reunião.
A acta é constituída pelas seguintes partes:

1. Cabeçalho: que compreendem a origem e o título do documento.

2. Corpo: que compreende uma fórmula fixa para iniciar, composta pelos seguintes indicadores:

 Número de ordem da acta

 Hora, dia, mês, ano e o local da realização da reunião bem como agenda de trabalho (se não estiver em epigrafe, quer dizer logo depois do cabeçalho)

Desenvolvimento dos pontos da agenda

 Indicação do nome de quem presidiu a reunião, nome dos participantes e os ausentes, considerando justificativo ou não da sua ausência.

 Indicação do expediente (emitido), recebido ou remetido)

 Desenvolvimento dos pontos agendados (síntese da resolução tomada ou desenvolvida, resultado da votação se houver, declaração de voto se for o caso)

 Qualquer outro ponto tratado na reunião.

3. Fecho: constituído por uma forma fixa para encerrar a reunião ou assim que pode ser:

“E nada mais havendo a tratar foi encerrada a reunião da qual se lavrou a presente acta que, depois de lida e aprovada, vai ser assinada pelo presidente e por mim secretario, nos termos da lei” ou “ nada mais havendo a tratar foi a reunião encerrada, pelas...horas e dela se lavrou a presente acta que após lida e achada conforme vai ser assinada pelo presidente da mesa e por mim secretario.

Regras a observar na elaboração da acta

 A acta é elaborada pelo(a) secretario(a) na fase da reunião propriamente dita, devendo conter os aspectos essenciais tratados num encontro e que sejam feito com fidelidade, aquele nela se passou (intervenções, declarações, votações, etc.).

 O registo deve ser feito de uma forma clara e precisa;

 A acta admite apenas algarismos por extenso para evitar possíveis rectificações;

 A acta não admite linhas em branco, para evitar possíveis acréscimos, por isso deve-se esperar os espaços;

 A acta não admite rasuras ou emendas. Quando o erro é destetado no momento da redacção emprega-se a palavra “digo” e, em seguida oque se queria escrever;

 Se o erro for detectado no fim, usa-se a seguinte estratégia: “onde esta x” lê-se “y”

 A acta lavra-se em livros próprios o livro de actas ou em folhas soltas, mas cronologicamente enumerado;

 O texto da acta pode ser preenchido em espaço/formulário existente, ou manuscrito ou dactilografado;

 As actas das reuniões periódicas (actas de sessões ordenadas) são assinados na sessão seguinte, depois de lida e aprovada, se não houver nenhuma alteração a introduzidas;

 48h, após a reunião, deve-se enviar uma cópia da acta a cada participante;

 Nas actas de sessões extraordinárias a leitura e a provada são feitos imediatamente a seguir a sessão;

 Uma acta pode ser assinada por todos participantes ou apenas pela pessoa que preside a reunião e pelo secretário que a elaborou.

Alternativa para final

Finalmente, fulano declarou encerrada a sessão e convocou os presentes para nova reunião (uma nova) reunião a ter lugar no dia... Pela... Horas, no... (local)

Relacionamento dos parágrafos

Relativamente a...procedeu-se a...conseguintes resultados:

 No que respeita a...

 No que se refere a...

 Quanto a...

 Primeiro foi...

 Seguidamente, depois, finalmente..., proposta...,

 Tendo sido sugerido,... Apresentar... Foi concluído que... Ficou decido que..., acordou-se que…
Expressões

 Lida por... A acta da sessão anterior foi mesma aprovada sem restrições,

 O expediente constou da lista de dois ofícios alias da leitura de dois ofícios emanados de... (prestação de informações relativas a...de parecer...).

 Na ordem do dia, foi unanimente aprovado o parecer emitido...

 Seguidamente (depois, em seguida...), procedeu a votação relativa a..., com os seguintes resultados..., concluída a votação, deu inicio a...,procedeu-se a..., prossegue-se com....

Tipos de acta

Os tipos de acta são:

 Acta de divórcio;

 Acta de casamento;

 Acta de óbito;

 Acta de emancipação;

 Acta de constituição;

 Acta de entrega;

 Acta de nascimento;

 Acta de adopção;

 Etc.

Modelo da acta

Acta número ___________ (1)
-----------Aos_______________(1) dias do mês de_____________ (1) de____________(1), pelas_______________(1) reuniu-se/reuniram-se ___________________ (2), na __________________(3), sob a presidência de ______________________(4), para dar cumprimento à seguinte ordem de trabalhos:----------------------------------------------------------------------------------------------
Ponto um:__________________________
Ponto dois: _______________________
Desenvolvimento talhado de todos os assuntos tratados, registo das várias opiniões e das várias conclusões. Quando houver lugar a votação de propostas, deve-se indicar o número de votos a favor, contra e abstenções.
E, nada mais havendo a tratar, foi lavrada a presente acta que, depois de lida e aprovada, vai ser assinada pelo presidente e por mim que a secretariei.
O Presidente: ___________________ (4) O Secretário: ____________________(5)
• (1) -Todos os números são por extenso
• (2) - Nome da empresa, escola, designação da assembleia/grupo
• (3) - Local
• (4) - Nome completo do Presidente
• (5) - Nome do Presidente e do Secretário